If a, b,c and d are different integers between -6 and 10 inclusive, what is the least possible value of the product abcd?

চারটি ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা a, b, c এবং d এর গুণফল abcd এর সর্বনিম্ন মান বের করতে হবে। পূর্ণসংখ্যাগুলো -6 থেকে 10 এর মধ্যে (উভয়সহ) হতে পারে।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, সংখ্যাগুলি হলো: \(\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)।

চারটি সংখ্যার গুণফল সর্বনিম্ন (সবচেয়ে ঋণাত্মক) পেতে হলে, গুণফলটি অবশ্যই একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হতে হবে। এটি তখনই সম্ভব যখন গুণফলটিতে বিজোড় সংখ্যক ঋণাত্মক সংখ্যা থাকে। দুটি পরিস্থিতি এক্ষেত্রে সম্ভব:

    
1. একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা।
    
2. তিনটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

আমরা উভয় ক্ষেত্রেই গুণফলের মান নির্ণয় করব এবং সবচেয়ে কম (সর্বনিম্ন) মানটি বেছে নেব। লক্ষ্য রাখতে হবে যে সংখ্যাগুলো ভিন্ন হতে হবে। শূন্য (0) ব্যবহার করলে গুণফল 0 হবে, যা সর্বনিম্ন মান হবে না কারণ ঋণাত্মক সংখ্যা বিদ্যমান।

১. একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করে:

গুণফল সর্বনিম্ন করতে হলে, ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান (absolute value) সবচেয়ে বেশি এবং ধনাত্মক সংখ্যা তিনটির পরম মানও সবচেয়ে বেশি হতে হবে।

    
• সবচেয়ে বড় পরম মানের ঋণাত্মক সংখ্যা: -6
    
• সবচেয়ে বড় পরম মানের তিনটি ভিন্ন ধনাত্মক সংখ্যা: 10, 9, 8

এক্ষেত্রে গুণফল হবে: \(a \times b \times c \times d = (-6) \times 10 \times 9 \times 8\)

\( = -6 \times 720\)

\( = -4320\)

২. তিনটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করে:

গুণফল সর্বনিম্ন করতে হলে, তিনটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যার পরম মান সবচেয়ে বেশি হতে হবে।

    
• সবচেয়ে বড় পরম মানের তিনটি ভিন্ন ঋণাত্মক সংখ্যা: -6, -5, -4
    
• সবচেয়ে বড় পরম মানের একটি ধনাত্মক সংখ্যা (যা পূর্বোক্ত সংখ্যাগুলো থেকে ভিন্ন): 10

এক্ষেত্রে গুণফল হবে: \(a \times b \times c \times d = (-6) \times (-5) \times (-4) \times 10\)

\( = (30) \times (-40)\)

\( = -1200\)

উপরের দুটি পরিস্থিতি থেকে প্রাপ্ত গুণফলগুলোর মধ্যে সর্বনিম্ন মান হলো -4320 (কারণ -4320, -1200 এর চেয়ে ছোট)।

অতএব, abcd এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান হলো -4320।